Istilah Urutan pengiraan

Urutan pengiraan, yakni ketertiban yang wajib dituruti dalam pengiraan sesuatu formula digunakan di seluruh bidang matematik, sains, teknologi dan pelbagai bahasa pengaturcaraan komputer. Aturan susunan adalah seperti berikut:[1][3][4]

Maksud di sini adalah untuk mencerakin sesuatu ungkapan, seseorang terlebih dahulu perlu mencerakin mana-mana subungkapan yang ada di dalam kurungan, mengikut turutan dari dalam ke luar jika terdapat lebih daripada satu set kurungan. Sama ada berada di dalam kurungan ataupun tidak, pengiraan pada aras turutan yang lebih tinggi berdasarkan senarai di atas hendaklah diutamakan dahulu.

Aturan tukar tertib dan sekutuan bagi kiraan penambahan dan pendaraban membenarkan faktor-faktor tambahan and gandaan dalam sebarang susunan—tetapi operasi bercampur pelbagai aras urutan mesti mematuhi urutan operasi standard tersebut.

Pembahagian yang digantikan dengan pengiraan salingan (penyongsangan berdaraban) serta penolakan yang digantikan dengan penambahan nilai negatif (penyongsangan berdaya tambah) adalah berguna dalam sesetengah konteks. Contohnya, dalam bidang Sebagai contoh, dalam bidang algebra komputer, penyongsangan tersebut membolehkan seseorang mengendalikan bilangan operasi dedua yang lebih sedikit dan meringkaskan kerja pemudahan ungkapan yang lebih besar menggunakan prinsip ketukartertiban dan kebersekutuan. Makanya 3 ÷ 4 = 3 × 1/4; yang bermaksud hasil bahagi 3 dengan 4 bersamaan dengan hasil darab 3 dengan 1/4. Hal ini sama juga untuk operasi 3 − 4 = 3 + (−4); yang bermaksud nilai beza antara 3 dan 4 bersamaan dengan hasil tambah 3 dan −4. Maka, 1 − 3 + 7 boleh dianggap sebagai hasil tambah 1 + (−3) + 7, dan penambahan tiga nilai berbeza itu boleh disusun dalam mana-mana urutan depan atau belakang dalam proses penambahan, dengan hasil yang sama iaitu 5.

Simbol akar √ lazimnya dipanjangkan dengan garis (dipanggil tanda vinkulum) di atas radikan (bagi mengelakkan keperluan tanda kurung mengelilingi nilai radikan). Fungsi lain penggunaan kurungan di sekeliling input adalah untuk mengelakkan ketaksaan.[5][6][lower-alpha 1] Tanda kurung boleh diabaikan jika input ialah pembolehubah berangka tunggal atau pemalar,[1] seperti dalam kes sin x = sin(x) dan sin π = sin(π) . Satu lagi kelaziman pintasan yang kadangkala digunakan adalah sewaktu input itu bersifat monomial; maka, sin 3x = sin(3x) berbanding (sin(3)) x, tetapi sin x + y = sin(x) + y, kerana x + y bukan bersifat monomial. Walau bagaimanapun, kelaziman tersebut bersifat samar dan tidak difahami secara universal di luar konteks tertentu. Sesetengah kalkulator dan bahasa pengaturcaraan memerlukan tanda kurungan di sekeliling input fungsi, manakala sesetengah yang lain tidak.

Simbol pengumpulan (kurungan dan garisan) boleh digunakan untuk mengatasi susunan operasi biasa.[1] Simbol pengumpulan boleh dianggap sebagai satu ungkapan.[1] Simbol pengumpulan boleh dibuang menggunakan prinsip ketukartertiban dan kebersekutuan, serta boleh juga disisihkan jika ungkapan di dalam simbol pengumpulan itu cukup dipermudahkan sehingga penyingkirannya tidak mewujudkan kesamaran hasil kiraan.

Contoh

Pendaraban didahulukan sebelum penambahan:

1 + 2 × 3 = 1 + 6 = 7. {\displaystyle 1+2\times 3=1+6=7.}

Subungkapan berkurung dikira dahulu:

( 1 + 2 ) × 3 = 3 × 3 = 9. {\displaystyle (1+2)\times 3=3\times 3=9.}

Pengeksponenan dikira sebelum pendaraban, pendaraban dikira sebelum penolakan:

1 − 2 × 3 4 = 1 − 2 × 81 = 1 − 162 = − 161. {\displaystyle 1-2\times 3^{4}=1-2\times 81=1-162=-161.}

Apabila ungkapan ditulis dalam superskrip, superskrip dianggap dikumpulkan mengikut kedudukannya di atas nilai asasnya:

1 + 2 3 + 4 = 1 + 2 7 = 1 + 128 = 129 , {\displaystyle 1+2^{3+4}=1+2^{7}=1+128=129,} manakala dalam program C ungkapan tersebut menjadi 1 + 2 ^ 3 + 4 membawa nilai kepada 1 + 8 + 4 = 13. {\displaystyle 1+8+4=13.}

Lingkuran kiraan sesuatu simbol akar ditentukan oleh sepanjang mana garis atas melitupi ungkapan matematik tersebut:

1 + 3 + 5 = 4 + 5 = 2 + 5 = 7. {\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.}

Garis pecahan mendatar juga bertindak sebagai simbol pengumpulan:

1 + 2 3 + 4 + 5 = 3 7 + 5. {\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.}

Untuk mudah dibaca, lain-lain simbol pengumpulan seperti tanda kurung dakap { } atau tanda kurung siku [ ], kadangkala digunakan bersama tanda kurung biasa ( ). Contohnya:

( [ 1 + 2 ] ÷ [ 3 + 4 ] ) + 5 = ( 3 ÷ 7 ) + 5 {\displaystyle ([1+2]\div [3+4])+5=(3\div 7)+5}